Question

10．經過長期的觀測得到：在交通繁忙的時段內，蚌埠市解放路某路段汽車的車流量y（千輛/h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的函數關系為y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$（v＞5）．
（1）在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時車流量最大，最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/h）
（2）若要求在該時段內車流量超過10千輛/h，則汽車的平均速度應在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）令v₁=v-5，由于y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$=$\frac{670}{{v}_{1}+2+\frac{900}{{v}_{1}}}$，根據基本不等式性質求得y的最大值．根據等號成立的條件求得此時的平均速度．
（2）依題意可知$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$＞10，整理求得v的范圍．

解答 解：（1）令v₁=v-5，由于y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$=$\frac{670}{{v}_{1}+2+\frac{900}{{v}_{1}}}$（v₁＞0），
且v₁+$\frac{900}{{v}_{1}}$≥2$\sqrt{{v}_{1}•\frac{900}{{v}_{1}}}$，當且僅當v₁=$\frac{900}{{v}_{1}}$，即v=35時等號成立，
所以y≤$\frac{670}{2+60}$≈10.8，即當汽車的平均速度為v=35km/h時，車流量最大
且最大車流量為10.8千輛/h．                     …（7分）
（2）由條件知$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$＞10，解得25＜v＜50
所以若要求在該時段內車流量超過10千輛/h，則汽車的平均速度應在（25，50）范圍內．…（13分）

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．要特別留意等號取得的條件．