Question

10．經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，蚌埠市解放路某路段汽車的車流量y（千輛/h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的函數(shù)關(guān)系為y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$（v＞5）．
（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量最大，最大車流量為多少？（精確到0.1千輛/h）
（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/h，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）令v₁=v-5，由于y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$=$\frac{670}{{v}_{1}+2+\frac{900}{{v}_{1}}}$，根據(jù)基本不等式性質(zhì)求得y的最大值．根據(jù)等號(hào)成立的條件求得此時(shí)的平均速度．
（2）依題意可知$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$＞10，整理求得v的范圍．

解答 解：（1）令v₁=v-5，由于y=$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$=$\frac{670}{{v}_{1}+2+\frac{900}{{v}_{1}}}$（v₁＞0），
且v₁+$\frac{900}{{v}_{1}}$≥2$\sqrt{{v}_{1}•\frac{900}{{v}_{1}}}$，當(dāng)且僅當(dāng)v₁=$\frac{900}{{v}_{1}}$，即v=35時(shí)等號(hào)成立，
所以y≤$\frac{670}{2+60}$≈10.8，即當(dāng)汽車的平均速度為v=35km/h時(shí)，車流量最大
且最大車流量為10.8千輛/h．                     …（7分）
（2）由條件知$\frac{670（v-5）}{{v}^{2}-8v+915}$＞10，解得25＜v＜50
所以若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/h，則汽車的平均速度應(yīng)在（25，50）范圍內(nèi)．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．要特別留意等號(hào)取得的條件．