Question

18．設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），試求a_n，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），分別令n=1，2，3時，可得a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．利用遞推式可得${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}+{a}_{n+1}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=0．利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴當n=1，2，3時，可得a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
下面利用數(shù)學歸納法證明．
（1）當n=1時，a₁=1=$\sqrt{1}-\sqrt{0}$成立；
（2）假設(shè)當n=k（k∈N^*）時，${a}_{k}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$成立．
∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），${S}_{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}（{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）$-$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
化為${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}+{a}_{n+1}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=0．
則當n=k+1時，$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$+${a}_{k+1}-\frac{1}{{a}_{k+1}}$=0，解得a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$．
∴當n=k+1時，a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$成立．
綜上（1）（2）可得：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用、數(shù)學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．