【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC為等腰直角三角形,∠B=90°,D為棱BB1上一點(diǎn),且平面DA1C⊥平面AA1C1C.
(1)求證:D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn);
(2)判斷四棱錐A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的體積是否相等,并證明.

【答案】
(1)過點(diǎn)D作DE⊥A1C于E點(diǎn),取AC的中點(diǎn)F,連BF,EF.

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C內(nèi)的直線DE⊥A1C,

∴DE⊥面AA1C1C.

又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,且△ABC為等腰三角形,易知BF⊥AC,

∴BF⊥面AA1C1C.由此知:DE∥BF,從而有D,E,F(xiàn),B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,

故有DB∥EF,從而有EF∥AA1,又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),

所以 ,所以D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn).


(2)相等.證明:ABC﹣A1B1C1為直三棱柱,

∴BB1⊥A1B1,BB1⊥BC,

又A1B1⊥B1C1,BC⊥AB,

∴A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD(9分)

∵D為BB1中點(diǎn),

∴ =


【解析】分析:(1)過點(diǎn)D作DE⊥A1C于E點(diǎn),取AC的中點(diǎn)F,連BF,EF,推出 ,即可證明D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn);(2)求出四棱錐A1﹣B1C1CD的底面面積和高,再計算C﹣A1ABD的體積,即可判斷體積相等.
【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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C.3
D.4

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B.-
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年份200x(年)

0

1

2

3

4

人口數(shù)y(十)萬

5

7

8

11

19


(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a;
(3)據(jù)此估計2005年該城市人口總數(shù).

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