Question

11．下列命題中，正確的有①③④
①△ABC中，A＞B的充分必要條件是sinA＞sinB；
②已知向量$\overrightarrow a=（λ，2λ），\overrightarrow b=（3λ，2）$，如果$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是$λ＜-\frac{4}{3}$或λ＞0；
③若函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，則c=6；
④在銳角△ABC中，BC=1，B=2A，則AC的取值范圍為$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 ①△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，于是sinA＞sinB，即可判斷出正誤；
②如果$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，且不能反向共線，可得3λ²+4λ＜0，且6λ²-2λ≠0，解出即可判斷出正誤；
③f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），由于函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，可得f′（2）=0，解得c=2或6，再進一步判斷出即可；
④在銳角△ABC中，BC=1，B=2A，若B是最大角，則$\frac{π}{2}＞$2A＞C=π-3A，可得$\frac{π}{5}＜A＜\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA．同理若C是最大角，則$\frac{π}{2}＞π-3A＞2A$＞0，可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{5}$，即可判斷出真假．

解答 解：①△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，于是sinA＞sinB，正確；
②如果$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，且不能反向共線，∴3λ²+4λ＜0，且6λ²-2λ≠0，解得$-\frac{4}{3}＜λ＜0$，因此不正確；
③f′（x）=（x-c）²+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），∵函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，∴f′（2）=（2-c）（6-c）=0，解得c=2或6，當c=2時，函數(shù)f（x）在x=$\frac{2}{3}$處取得極大值，舍去；當c=6時，函數(shù)f（x）在x=2處取得極大值，正確．
④在銳角△ABC中，BC=1，B=2A，若B是最大角，則$\frac{π}{2}＞$2A＞C=π-3A，可得$\frac{π}{5}＜A＜\frac{π}{4}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA＞$2sin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．若C是最大角，則$\frac{π}{2}＞π-3A＞2A$＞0，可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{5}$，由正弦定理可得：$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$，AC=2cosA$＜2cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，綜上可得：AC的取值范圍為$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．故正確．
綜上可得：正確的命題為①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、正弦定理的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．