Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

3

，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M為PA的中點．
（Ⅰ）求證：直線PC∥平面MBD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接MO，由MO∥PC，由此能證明直線PC∥平面MBD．
（Ⅱ）由CD∥AB，得∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角），由此能求出AB與MD所成角的余弦值．

解答： （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接MO
∵底面ABCD是邊長為1的菱形，∴O是AC中點，
又M為PA的中點，∴MO∥PC，
又MO?平面MBD，PC?平面MBD，
∴直線PC∥平面MBD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）
連接AC，MC，則AC=1，MC=

2

MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴AB與MD所成角的余弦值為

2

4

．

點評：本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．