Question

18．（理科學(xué)生做）在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，BC=CC′=2，求
（1）直線B′D與BC′所成角的大�。�
（2）二面角A-B′D-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，證明$\overrightarrow{B′D}$•$\overrightarrow{BC′}$=4+0-4=0，可得$\overrightarrow{B′D}$⊥$\overrightarrow{BC′}$，即可求出直線B′D與BC′所成角的大��；
（2）求出平面AB′D的法向量、平面B′DC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角A-B′D-C的余弦值．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），B′（2，4，2），C′（0，4，2），
∴$\overrightarrow{B′D}$=（-2，-4，-2），$\overrightarrow{BC′}$=（-2，0，2），
∴$\overrightarrow{B′D}$•$\overrightarrow{BC′}$=4+0-4=0，
∴$\overrightarrow{B′D}$⊥$\overrightarrow{BC′}$，
∴直線B′D與BC′所成角的大小為90°；
（2）由（1）$\overrightarrow{B′D}$=（-2，-4，-2），$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），
設(shè)平面AB′D的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-2x-4y-2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，1，-2），
同理平面B′DC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴由圖形得二面角A-B′D-C的余弦值=-$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查空間角，考查向量知識的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．