Question

8．在x軸正半軸上是否存在兩個定點(diǎn)A，B，使得圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)$\frac{1}{2}$？如果存在，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 先用圓x²+y²=4上的特殊點(diǎn)C（2，0），D（-2，0），求出滿足條件的點(diǎn)A（1，0），B（4，0）；
再證明在圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)$\frac{1}{2}$成立即可．

解答 解：假設(shè)在x軸正半軸上存在兩個定點(diǎn)A（a，0），B（b，0），其中a＞0，b＞0，
使得圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)$\frac{1}{2}$，
則|PA|=$\frac{1}{2}$|PB|，
不妨取特殊點(diǎn)C（2，0），D（-2，0）；
有（2-a）²=$\frac{1}{4}$（2-b）²①，
（-2-a）²=$\frac{1}{4}$（-2-b）²②，
解得a=1，b=4；
所以A（1，0），B（4，0）；
現(xiàn)證明在圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)$\frac{1}{2}$，
則${{（x}_{0}-1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=$\frac{1}{4}$[${{（x}_{0}-4）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$]③，
${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4④；
把④代入③，并化簡得等式恒成立；
所以存在點(diǎn)A（1，0），B（4，0），滿足|PA|=$\frac{1}{2}$|PB|成立．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．