Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-2．
（1）求a₁，a₂，a₃并由此猜想a_n的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3代入條件式解出a₁，a₂，a₃，根據(jù)前三項(xiàng)的特點(diǎn)猜想通項(xiàng)公式；
（2）先驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，利用條件式推導(dǎo)a_k+1，得出n=k+1時(shí)猜想成立．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=2a₂-2，解得a₂=4．
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=2a₃-2，解得a₃=8．
猜想：a_n=2ⁿ．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，顯然猜想成立．
假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即a_k=2^k．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=2a_k+1-2．
∴S_k+a_k+1=2a_k+1-2，
∴2a_k-2+a_k+1=2a_k+1-2，
∴a_k+1=2a_k=2•2^k=2^k+1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
∴a_n=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．