Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|，a∈R，若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 化為分段函數(shù)可得三個(gè)交點(diǎn)，由面積公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：若a＞-1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-2a，x＜-1}\\{3x+1-2a，-1≤x≤a}\\{-x+1+2a，x＞a}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（$\frac{2a-1}{3}$，0），B（2a+1，0），C（a，a+1），
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$[2a+1-（$\frac{2a-1}{3}$）]（a+1）=$\frac{2}{3}$（a+1）²，故$\frac{2}{3}$（a+1）²＞6，解得a＞2或a＜-4（舍），
若a=-1，則f（x）=|x+1|-2|x+1|=-|x+1|，此時(shí)不滿足條件．
若a＜-1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-2a，}&{x＜a}\\{-3x+2a-1，}&{a≤x≤-1}\\{-x+1+2a，}&{x＞-1}\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（$\frac{2a-1}{3}$，0），B（2a+1，0），C（a，-a-1），

∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$[$\frac{2a-1}{3}$-（2a+1）]（-a-1）=$\frac{2}{3}$（a+1）²，故$\frac{2}{3}$（a+1）²＞6，解得a＞2（舍）或x＜-4，
綜上a的取值范圍為（-∞，-4）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值函數(shù)，涉及三角形的公式，化為分段函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．