Question

12．若P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上位于x軸上方的一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，O為原點，Q為PF的中點，且|OQ|=4，則直線PF的斜率為$\sqrt{63}$．

Answer 1

分析 設橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦點為E，由已知推導出PE=8，PF=2，EF=8，利用余弦定理求出cos∠PFE，由此能求出直線PF的斜率．

解答 解：如圖，設橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦點為E
∵P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上位于x軸上方的一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，O為原點，Q為PF的中點，且|OQ|=4，
∴OQ是△PEF的中位線，∴PE=2OQ=8，
∴PF=2a-8=2×5=8=2，EF=2c=8，
∴cos∠PFE=$\frac{P{F}^{2}+E{F}^{2}-P{E}^{2}}{2PF•EF}$=$\frac{4+64-64}{2×2×8}$=$\frac{1}{8}$，
∴sin∠PFE=$\sqrt{1-\frac{1}{64}}$=$\frac{\sqrt{63}}{8}$，∴tan∠PFE=$\sqrt{63}$．
∴直線PF的斜率為$\sqrt{63}$．
故答案為：$\sqrt{63}$．

點評 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．