Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=2BC=PC=2，AC⊥BC，D、E、F分別為AC、AB、AP的中點，M、N分別為線段PC、PB上的動點，且有MN∥BC．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面PAC；
（Ⅱ）當M為線段PC的中點時，求DM與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的動點M，使得二面角E-MN-F為直二面角？若存在，求CM的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：BC⊥平面PAC，利用MN∥BC，即可證明MN⊥平面PAC；
（Ⅱ）以C為坐標原點，CA，CB所在直線為x，y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立坐標系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，求求DM與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）由條件可得，∠FMD即為二面角E-MN-F的平面角，在△MDC中，由余弦定理建立方程，即可求CM的長度．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
又AC⊥BC，∴BC⊥面PAC．
又∵MN∥BC，
∴MN⊥面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：由已知CA⊥CB，以C為坐標原點，CA，CB所在直線為x，y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，作如圖所示的坐標系．則$D（\frac{1}{2}，0，0）$，$M（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$P（1，0，\sqrt{3}）$，B（0，1，0）$\overrightarrow{DM}=（0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{CP}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}=（0，1，0）$
設(shè)平面PBC的法向量為u=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CP}⊥u\\ \overrightarrow{CB}⊥u\end{array}\right.$，令z=1，解得$x=-\sqrt{3}，y=0$．
∴$u=（-\sqrt{3}，0，1）$，
設(shè)DM與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=$|{cos＜u，\overrightarrow{DM}＞}|$=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2}}=\frac{1}{2}$．
則DM與平面PBC所成角為$\frac{π}{6}$．…（9分）
（Ⅲ）解：

由條件可得，∠FMD即為二面角E-MN-F的平面角；
若二面角E-MN-F為直二面角，則∠FMD=90°．
在直角三角形PCA中，設(shè)CM=t，（0≤t≤2），則PM=2-t，
在△MDC中，由余弦定理可得，$D{M^2}=C{M^2}+C{D^2}-2CM•CDcos60°={t^2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}t$；
同理可得，$F{M^2}=P{M^2}+P{F^2}-2PM•PFcos30°={（2-t）^2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{2}（2-t）$．
又由FD²=FM²+MD²，得2t²-3t+1=0，解得t=1或$t=\frac{1}{2}$．
∴存在直二面角E-MN-F，且CM的長度為1或$\frac{1}{2}$．…（14分）

點評 本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查二面角的平面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．