Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+a}$．
（Ⅰ）證明：當(dāng)a=1，x＞0時(shí)，f（x）＞0；
（Ⅱ）若a＞1，討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)n∈N*，比較$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}$與n-ln（1+n）的大小，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{x+1}$，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明；
（Ⅱ）由題設(shè)，$x∈（{0\;，\;+∞}）\;，\;f'（x）=\frac{{x[{x-（{{a^2}-2a}）}]}}{{（{x+1}）{{（{x+a}）}^2}}}$．對(duì)a²-2a≤0，與a²-2a＞0，分類(lèi)討論即可得出；
（III）有結(jié)論$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}＞n-ln（n+1）$，證明如下：
方法一：上述不等式等價(jià)于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，則$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
方法二：上述不等式等價(jià)于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，則ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．化為ln（n+1）-lnn＞$\frac{1}{n+1}$．利用“累加求和”即可證明．

解答 （Ⅰ）證明：當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=ln（1+x）-\frac{x}{x+1}$，
$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{（x+1）-x}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+x}}{{{{（x+1）}^2}}}$，
∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（0）=0，f（x）＞f（0）=0；
結(jié)論得證．
（Ⅱ）解：由題設(shè)，$x∈（{0\;，\;+∞}）\;，\;f'（x）=\frac{{x[{x-（{{a^2}-2a}）}]}}{{（{x+1}）{{（{x+a}）}^2}}}$．
①當(dāng)a²-2a≤0，即1＜a≤2時(shí)，則f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)a²-2a＞0，即a＞2時(shí)，有x∈（0，a²-2a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，a²-2a）上是減函數(shù)；x∈（a²-2a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函數(shù)．
綜上可知：當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（0，a²-2a）上是減函數(shù)，在（a²-2a，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅲ）解：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{n}{n+1}＞n-ln（n+1）$，證明如下：
方法一：上述不等式等價(jià)于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），
由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，則$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{2}$＜ln 2，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$＜ln（k+1）．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+1）+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+1）+ln$\frac{k+2}{k+1}$=ln（k+2），
即結(jié)論成立．
由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N₊成立．
方法二：上述不等式等價(jià)于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），
由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞$\frac{x}{1+x}$，x＞0．
令x=$\frac{1}{n}$，n∈N₊，則ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$．
故有l(wèi)n 2-ln 1＞$\frac{1}{2}$，
ln 3-ln 2＞$\frac{1}{3}$，
…
ln（n+1）-ln n＞$\frac{1}{n+1}$，
上述各式相加可得ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、數(shù)學(xué)歸納法、“累加求和”方法，考查了分類(lèi)討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．