Question

9．在自然數(shù)列1，2，3，…，n中，任取k個(gè)元素位置保持不動(dòng)，將其余n-k個(gè)元素變動(dòng)位置，得到不同的新數(shù)列．由此產(chǎn)生的不同新數(shù)列的個(gè)數(shù)記為P_n（k）．
（1）求P₃（1）
（2）求$\sum_{k=0}^{4}$P₄（k）；
（3）證明$\sum_{k=0}^{n}$kP_n（k）=n$\sum_{k=0}^{n-1}$P_n-1（k），并求出$\sum_{k=0}^{n}$kP_n（k）的值．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列1，2，3中保持其中1個(gè)元素位置不動(dòng)的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；
（2）類比（1）即可得出；
（3）：把數(shù)列1，2，…，n中任取其中k個(gè)元素位置不動(dòng)，則有$C_n^k$種；其余n-k個(gè)元素重新排列，并且使其余n-k個(gè)元素都要改變位置，則${P_n}（k）=C_n^k{P_{n-k}}（0）$，可得$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=\sum_{k=0}^nkC_n^k{P_{n-k}}（0）$，利用$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$，即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列1，2，3中保持其中1個(gè)元素位置不動(dòng)的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，
∴P₃（1）=3；
（2）解：$\sum_{k=0}^4{{P_4}（k）}={P_4}（0）+{P_4}（1）+{P_4}（2）+{P_4}（3）+{P_4}（4）$=$C_4^0C_3^1C_3^1+C_4^1C_2^1+C_4^2+0+1=9+8+6+0+1=24$；
（3）證明：把數(shù)列1，2，…，n中任取其中k個(gè)元素位置不動(dòng)，則有$C_n^k$種；其余n-k個(gè)元素重新排列，并且使其余n-k個(gè)元素都要改變位置，則有${P_n}（k）=C_n^k{P_{n-k}}（0）$，
故$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=\sum_{k=0}^nkC_n^k{P_{n-k}}（0）$，
又∵$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$，
∴$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=\sum_{k=0}^nkC_n^k{P_{n-k}}（0）=n\sum_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^k{P_{n-k-1}}（0）}=n\sum_{k=0}^{n-1}{{P_{n-1}}（k）}$．
令${a_n}=\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}$，則a_n=na_n-1，且a₁=1．
于是a₂a₃a₄…a_n-1a_n=2a₁×3a₂×4a₃×…×na_n-1，
左右同除以a₂a₃a₄…a_n-1，得a_n=2×3×4×…×n=n!
∴$\sum_{k=0}^n{k{P_n}（k）}=n!$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了排列與組合的計(jì)算公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．