Question

15．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|，若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow a$|x²+$\overrightarrow a$$\overrightarrow b$x+1在R上存在極值，則$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$夾角的取值范圍是（　�。�

• A． $[{0，\frac{π}{6}}）$
• B． $（{\frac{π}{3}，π}]$
• C． $（{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$
• D． $[{\frac{π}{3}，π}]$

Answer 1

分析 先求導(dǎo)數(shù)$f′（x）={x}^{2}+|\overrightarrow{a}|x+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，而根據(jù)f（x）在R上存在極值便有f′（x）=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，從而$△=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，這樣即可得到cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞＜\frac{1}{2}$，這樣由余弦函數(shù)的圖象便可得出$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的范圍，即得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角的取值范圍．

解答 解：$f′（x）={x}^{2}+|\overrightarrow{a}|x+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∵f（x）在R上存在極值；
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；
∴$△=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$；
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞＞0$，$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow|$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞＜\frac{|\overrightarrow{a}|}{4|\overrightarrow|}=\frac{2|\overrightarrow}{4|\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}＜＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的取值范圍為$（\frac{π}{3}，π]$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)極值的概念，以及在極值點(diǎn)兩邊的導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，一元二次方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)和判別式△取值的關(guān)系，數(shù)量積的計(jì)算公式，并要熟悉余弦函數(shù)的圖象．