Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂；若圓x²+y²=a²被直線x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l，使得以AB為直徑的圓過(guò)左焦點(diǎn)F₁，如果存在，求直線l的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及弦長(zhǎng)公式，結(jié)合橢圓的離心率公式，計(jì)算可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足題意的直線l．當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，不合題意；可設(shè)l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由以AB為直徑的圓過(guò)左焦點(diǎn)F₁，又F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，解方程可得m的值，即可判斷存在直線l，求得l的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓心O到直線x-y-$\sqrt{2}$=0的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，
由圓x²+y²=a²被直線$x-y-\sqrt{2}=0$截得的弦長(zhǎng)為2，
可得2=2$\sqrt{{a}^{2}-1}$
解得a=$\sqrt{2}$，
由橢圓C離心率為$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得c=1，
則b²=a²-c²=1，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足題意的直線l．
當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，不合題意；可設(shè)l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$，消x得（m²+2）y²+2my-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}$，
由以AB為直徑的圓過(guò)左焦點(diǎn)F₁，又F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
得x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂+1=0，
而${x_1}{x_2}=（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）=\frac{{2-2{m^2}}}{{{m^2}+2}}$，
${x_1}+{x_2}=m{y_1}+1+m{y_2}+1=\frac{4}{{{m^2}+2}}$．
可得$\frac{{2-2{m^2}}}{{{m^2}+2}}+\frac{4}{{{m^2}+2}}+\frac{-1}{{{m^2}+2}}+1=0$，
解得$m=±\sqrt{7}$
故存在直線l，l的方程為：$x+\sqrt{7}y-1=0$或$x-\sqrt{7}y-1=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式和橢圓的離心率公式，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，屬于中檔題．