Question

10．在空中，取直線l為軸，直線l與l′相交于O點，夾角為30°，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O為頂點，l′為母線的圓錐面．已知直線l∥平面α，l與α的距離為2，平面α與圓錐面相交得到雙曲線Γ．在平面α內(nèi)，以雙曲線Γ的中心為原點，以雙曲線的兩個焦點所在直線為y軸，建立直角坐標系．
（Ⅰ）求雙曲線Γ的方程；
（Ⅱ）在平面α內(nèi)，以雙曲線Γ的中心為圓心，半徑為2$\sqrt{2}$的圓記為曲線�！�，在�！渖先稳∫稽cP，過點P作雙曲線Γ的兩條切線交曲線�！溆趦牲cM、N，試證明線段MN的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導出雙曲線的實半軸長為2$\sqrt{3}$，且過點（2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$），由此能求出雙曲線的標準方程．
（Ⅱ） 設點P的坐標為（x₀，y₀），令過點P的切線方程為y=k（x-x₀）+y₀，與橢圓聯(lián)立，再利用根的判別式、韋達定理、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能證明線段MN的長為定值，并能求出這個定值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）如右圖，O'為雙曲線的中心，OO'為軸l與平面α的距離|OO'|=2，
A為雙曲線的頂點，∠AOO'=60°，∴$|O'A|=2\sqrt{3}$．…（1分）
在軸l上取點C，使得|OC|=4$\sqrt{3}$，過C作與軸l垂直的平面，
交圓錐面得到圓C，圓C與雙曲線相交于D、E，DE的中點為B，
由題意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2$\sqrt{3}$，
從而雙曲線的實半軸長為2$\sqrt{3}$，且過點（2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$）．…（4分）
設雙曲線的標準方程為$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{b^2}=1$，將點（2$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$）代入方程得b²=4，
所以雙曲線的標準方程為$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{4}=1$…（5分）
證明：（Ⅱ）在條件（Ⅰ）下，雙曲線Γ的兩切線PM、PN都不垂直x軸，…（6分）
設點P的坐標為（x₀，y₀），令過點P的切線的斜率為k，則切線方程為y=k（x-x₀）+y₀，
$由\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{y=k（x-{x_0}）+{y_0}}\\{\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{4}=1}\end{array}，消去y得$：$（{k^2}-3）{x^2}-2k（k{x_0}-{y_0}）x+{（k{x_0}-{y_0}）^2}-12=0$…（8分）
由△=0，化簡得：$（x_0^2+4）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+（y_0^2-12）=0$…（9分）
令PM、PN的斜率分別為k₁、k₂，$由韋達定理得{k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-12}{x_0^2+4}$，…（10分）
因點P（x₀，y₀）在圓Γ'上，則有${x_0}^2+{y_0}^2=8$，得：$\frac{y_0^2-12}{x_0^2+4}=-1$，∴k₁k₂=-1，…（11分）
知PM⊥PN，線段MN是圓O的直徑，|MN|=4$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查雙曲線方程的求法，考查線段長為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線、圓、直線方程等知識點的合理運用．