Question

5．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AA₁=4，則該三棱柱的外接球的體積為$\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AA₁=4，底面ABC的小圓半徑為2，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，即可求出三棱柱的外接球的體積．

解答 解：由題意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，AA₁=4，底面小圓ABC的半徑為2，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，外接球的半徑為：$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱柱的外接球的體積為$\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$
故答案為：$\frac{{64\sqrt{2}π}}{3}$．

點評 本題是中檔題，考查直三棱柱的外接球的體積的求法，解題的關(guān)鍵是外接球的半徑，直三棱柱的底面中心的連線的中點與頂點的連線是半徑，考查空間想象能力．