Question

6．P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上異于左右頂點A₁，A₂的任意一點，則直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，將這個結(jié)論類比到雙曲線，得出的結(jié)論為：P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上異于左右頂點A₁，A₂的任意一點，則（　　）

• A． 直線PA₁與PA₂的斜率之和為定值$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$
• B． 直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$
• C． 直線PA₁與PA₂的斜率之和為定值$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
• D． 直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$

Answer 1

分析 由已知橢圓的性質(zhì)類比可得直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．然后加以證明即可．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀）為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上異于左右頂點A₁，A₂的任意一點，
則A₁（-a，0），A₂（a，0），
∴${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$，
又P（x₀，y₀）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，
∴${{y}_{0}}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）$，
∴${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴直線PA₁與PA₂的斜率之積為定值$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，訓練了類比推理思想方法，是中檔題．