Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，若a₁=3，$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由題意化簡可得ln（a_n+1）=2lna_n，從而可得數(shù)列{lna_n}是以ln3為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求得．

解答 解：易知a_n＞0，∵$\sqrt{{a}_{n+1}}$=a_n，
∴$\frac{1}{2}$ln（a_n+1）=lna_n，ln（a_n+1）=2lna_n，
∴數(shù)列{lna_n}是以ln3為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)na_n=ln3•2^n-1=$ln{3}^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，
故答案為：${3}^{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷，同時考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．