Question

6．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）•sinx-（sinx-cosx）²．
（ I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和遞增區(qū)間；
（ II）若x∈[$\frac{π}{6}$，π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （ I））利用誘導(dǎo)公式和二倍角輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和遞增區(qū)間；
（ II）x∈[$\frac{π}{6}$，π]，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π-x）•sinx-（sinx-cosx）²．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2$\sqrt{3}$sin²x-1+2sinxcosx
=$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）$+sin2x-1
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-1+$\sqrt{3}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-1$．
（ I））函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{3}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（ II）∵x∈[$\frac{π}{6}$，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{5π}{3}$]
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1．
故得f（x）的值域?yàn)閇$\sqrt{3}-3$，$\sqrt{3}+1$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．