Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶函數(shù)的定義進行判斷；
（2）f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，等價于方程$lo{g}_{4}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一個實根，令t=2^x＞0，則方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有且只有一個正根．對系數(shù)a討論，得知．

解答 解：（1）f（x）為R上的偶函數(shù)，以下進行證明：…（1分）
易知，f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱；                                …（2分）
因為f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（4^x+1）-$lo{g}_{4}{4}^{\frac{1}{2}x}$=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$．，
所以f（-x）=$lo{g}_{4}（{2}^{-x}+{2}^{x}）$=f（x），所以f（x）為R上的偶函數(shù)              …（6分）
（2）f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，只需方程$lo{g}_{4}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一個實根，即方程${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}=a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a$有且只有一個實根．
令t=2^x＞0，則方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有且只有一個正根．             …（8分）
①a=1時t=-$\frac{3}{4}$，不合題意；
②若△=0則a=$\frac{3}{4}$或者a=-3；
若a=$\frac{3}{4}$，則t=-2，不合題意；若a=-3則t=$\frac{1}{2}$，符合題意
③若△＞0，則方程有兩根，顯然方程沒有零根．
所以依題意知，方程有一個正根與一個負根，即$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{-1}{a-1}＜0}\end{array}\right.$解得a＞1，
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷以及借助于方程根的問題解決圖象交點問題；屬于中檔題．