Question

4．已知函數y=f（x）的定義域為R，f（x）的導函數f′（x）的圖象如圖所示，則下列結論一定成立的是（　�。�

• A． 函數f（x）在x=4處取得極值
• B． f（1）＞f（2）
• C． 函數f（x）的最小值為0
• D． f（2）-f（1）＜f′（1）

Answer 1

分析 根據導函數的圖象可知f（x）在R上為增函數，所以無最值、無極值，并且x=4是f（x）圖象的拐點，所以可以了解函數f（x）圖象的變化趨勢，以及圖象的大致形狀，從而可判斷f（x）在x=1處切線的斜率大于點（1，f（1）），和點（2，f（2））兩點連線的斜率，從而判斷出D是正確的．

解答 解：在x=4兩邊的導數都大于0，所以f（x）在x=4處取不到極值；
∴A錯誤；
根據導函數的圖象知f′（x）≥0；
∴f（x）在R上單調遞增；
∴f（1）＜f（2），f（x）在R上無最值；
∴B，C錯誤；
根據導函數的圖象知道f（x）是曲線，并且x=4是f（x）圖象的拐點；
∴根據f（x）圖象的變化趨勢知：f（x）在x=1處的切線斜率大于兩點（1，f（1）），（2，f（2））連線的斜率；
∴$\frac{f（2）-f（1）}{2-1}＜f′（1）$；
∴D正確；
故選：D．

點評 考查函數導數符號和函數單調性的關系，若一個函數在R上單調，則它無最值和極值，最值和極值的概念，拐點的定義，以及根據圖象判斷切線和割線的斜率的大小關系．