Question

16．各項均為正數(shù)的{a_n}，{b_n}，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求證：{$（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．

Answer 1

分析 利用a_n+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，代入，可得（$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-$（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$=1，即可得出結論．

解答 證明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，
∴（$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²=（1+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$）²÷（$\frac{{a}_{n}+_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}}$）²=1+$（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$，
∴（$\frac{_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-$（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$=1，
∴{$（\frac{_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查學生分析解決問題的能力，正確運用等差數(shù)列的定義是關鍵．