Question

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，若$\frac{{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}}{2}＜f（1）$，則f（x）的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，e）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由奇函數(shù)的性質(zhì)和條件判斷f（x）在R上的單調(diào)性，由奇函數(shù)的定義和單調(diào)性化簡不等式，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出x的范圍，即可得答案．

解答 解：∵f（x）是在R上的奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\frac{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}{2}＜f（1）$可化為：$\frac{|f（lnx）-f（-lnx）|}{2}＜f（1）$，
即|f（lnx）|＜f（1），∴-f（1）＜f（lnx）＜f（1），
∴f（-1）＜f（lnx）＜f（1），
則-1＜lnx＜1，即ln$\frac{1}{e}$＜lnx＜lne，解得$\frac{1}{e}$＜x＜e，
∴不等式的解集是（$\frac{1}{e}$，e），
故選：C．

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．