已知橢圓的離心率為，為橢圓在軸正半軸上的焦點，、兩點在橢圓上，且，定點.
（1）求證：當時；
（2）若當時有，求橢圓的方程；
（3）在（2）的橢圓中，當、兩點在橢圓上運動時，試判斷 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時、兩點所在直線方程，若不存在，給出理由.
（1）詳見解析；（2）（3）存在，最大值為，直線方程為，或

試題分析：（1）設，從而可得各向量的坐標。當時，可得與，與間的關系。將點代入橢圓方程，結合與，與間的關系可得，即（2）當時由（1）知且故可設。根據(jù)和及解方程組可求得的值。（3）根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角形面積公式分析可知。設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去 整理為關于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關系。從而可用表示。用配方法求最值。注意討論直線斜率不存在和斜率為0兩種特殊情況。
（1）設，則，
當時，，
由M，N兩點在橢圓上，
若，則舍，
 
（2）當時，不妨設
又，
，橢圓C的方程為 
（3），
設直線的方程為
聯(lián)立，得，

記 ，
則 
，當，即時取等號 ．
并且，當k=0時，
當k不存在時
綜上有最大值，最大值為
此時，直線的方程為，或
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設橢圓的左右焦點為，上頂點為，點關于對稱，且
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知是過三點的圓上的點，若的面積為，求點到直線距離的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點．
（1）求橢圓的方程及其離心率；
（2）過橢圓右焦點的直線（不經(jīng)過點）與橢圓交于兩點，當的平分線為 時，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知線段，的中點為，動點滿足（為正常數(shù)）．
（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求動點所在的曲線方程；
（2）若，動點滿足，且，試求面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）.
（1）求點P的坐標；
（2）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線交于A，B兩點，若的面積為2，求C的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,為坐標原點,橢圓的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點作的不垂直于軸的弦,為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓上的點M與橢圓右焦點的連線與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若的面積是20，求此時橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知橢圓∶的左、右焦點分別、焦距為，且與雙曲線共頂點．為橢圓上一點，直線交橢圓于另一點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點的坐標為，求過、、三點的圓的方程；
（3）若，且，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的左右焦點為、，一直線過交橢圓于、兩點，則的周長為   （  ）
A．32B．16C．8D．4

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