13.如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,側(cè)面PAB為等邊三角形,側(cè)棱$PC=2\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求證:PC⊥AB;
(Ⅱ)求證:平面PAB⊥平面ABC.

分析 (Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為D,連結(jié)PD,CD,推導(dǎo)出PD⊥AB,CD⊥AB,從而AB⊥平面PCD,進(jìn)而PC⊥AB.
(Ⅱ)由已知推導(dǎo)出$AD=BD=CD=\sqrt{2}$,$AB=2\sqrt{2}$,$PD=\sqrt{6}$,從而CD⊥PD,進(jìn)而CD⊥平面PAB,由此能證明平面PAB⊥平面ABC.

解答 證明:(Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為D,連結(jié)PD,CD,( 1分)
∵側(cè)面PAB為等邊三角形,AP=BP,
∴PD⊥AB,(2分)
又AC=BC,∴CD⊥AB.(3分)
∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.(5分)
∵PC?平面PCD,∴PC⊥AB.(6分)
(Ⅱ)由已知∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴$AD=BD=CD=\sqrt{2}$,$AB=2\sqrt{2}$.(7分)
又△PAB為正三角形,且PD⊥AB,∴$PD=\sqrt{6}$.(8分)
∵$PC=2\sqrt{2}$,∴PC2=CD2+PD2
∴∠CDP=90°,∴CD⊥PD(9分)
∵CD⊥AB,∴CD⊥平面PAB,(11分)
∵CD?平面ABC,∴平面PAB⊥平面ABC.(12分)

點(diǎn)評 本題考查線線垂直、面面垂直的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊系列答案
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3.在△ABC中,已知$cosA=\frac{1}{2}$,則sinA=( 。
A.$\frac{1}{2}$B.±$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

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