Question

13．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，側(cè)面PAB為等邊三角形，側(cè)棱$PC=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連結(jié)PD，CD，推導(dǎo)出PD⊥AB，CD⊥AB，從而AB⊥平面PCD，進(jìn)而PC⊥AB．
（Ⅱ）由已知推導(dǎo)出$AD=BD=CD=\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{2}$，$PD=\sqrt{6}$，從而CD⊥PD，進(jìn)而CD⊥平面PAB，由此能證明平面PAB⊥平面ABC．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為D，連結(jié)PD，CD，（ 1分）
∵側(cè)面PAB為等邊三角形，AP=BP，
∴PD⊥AB，（2分）
又AC=BC，∴CD⊥AB．（3分）
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．（5分）
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．（6分）
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴$AD=BD=CD=\sqrt{2}$，$AB=2\sqrt{2}$．（7分）
又△PAB為正三角形，且PD⊥AB，∴$PD=\sqrt{6}$．（8分）
∵$PC=2\sqrt{2}$，∴PC²=CD²+PD²．
∴∠CDP=90°，∴CD⊥PD（9分）
∵CD⊥AB，∴CD⊥平面PAB，（11分）
∵CD?平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直、面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．