Question

1．如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．
（1）在直線AE上是否存在一點P，使得CP⊥平面ABE？請證明你的結(jié)論；
（2）求直線BC與平面ABE所成角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）存在滿足條件的點P．在梯形ACDE內(nèi)過C作CP⊥AE，垂足為P，則垂足P即為滿足條件的點．由已知推導出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能證明CP⊥平面ABE．
（2）連接BP，則∠CBP為BC與平面ABE所成角，由此能求出直線BC與平面BAE所成角的余弦值．

解答 解：（1）存在滿足條件的點P．在梯形ACDE內(nèi)過C作CP⊥AE，垂足為P，則垂足P即為滿足條件的點．
證明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
∴BA⊥平面ACDE，
又∵CP?平面ACDE，∴BA⊥CP．
由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE．
（2）連接BP，由（1）可知CP⊥平面ABE，P為垂足，
∴∠CBP為BC與平面ABE所成角θ．
在RT△APC中，∠PAC=60°，∠APC=90°，
∴PC=ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}AC$．
在RT△BAC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}AC$，
∴在RT△BPC中，∠BPC=90°，BC=$\sqrt{2}AC$，PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}AC$，
即sinθ=sin∠CBP=$\frac{CP}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AC}{\sqrt{2}AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，且0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{1-\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
故直線BC與平面BAE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查使得線面垂直的點是否存在的判斷與證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．