Question

11．如圖1所示，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交與點C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在BC下方的拋物線上是否存在點E，使△EBC的面積最大，如果存在，請求出最大面積及點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（3）如圖2所示，過點C作CP∥AB交拋物線與點P，在拋物線上是否存在點M，將線段PM繞點P旋轉(zhuǎn)90°后，點M恰好落在x軸上的點M₁處，如果存在，請求出點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中拋物線與坐標(biāo)軸的交點，構(gòu)造方程組，解得拋物線的解析式；
（2）設(shè)y=x+b（b＜-3）與拋物線切于E點，則此時△EBC的面積最大，聯(lián)立方程求出E點坐標(biāo)，可得答案；
（3）先求出P點坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換公式，可得滿足條件的M點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交與點C（0，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）由B（3，0），C（0，-3），
可得直線BC的方程為$\frac{x}{3}-\frac{y}{3}=1$，即y=x-3，
設(shè)y=x+b（b＜-3）與拋物線切于E點，則此時△EBC的面積最大，
由$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2x-3\\ y=x+b\end{array}\right.$得：x²-2x-（b+3）=0，
令△=0，則b=-4，
此時：x=1，y=-4，
即E點的坐標(biāo)為：（1，-4）；
E到BC的距離d=$\sqrt{2}$，
△EBC的面積S=$\frac{1}{2}$BC•d=3；
（3）過點C作CP∥AB交拋物線與點P，則P點坐標(biāo)為（2，-3），
設(shè)M₁點坐標(biāo)為：（n，0），
若n=2，則PM₁=3，此時對應(yīng)的M點為（-1，-3）或（5，-3）點均不在拋物線上；
若n＞2，則此時對應(yīng)的M點為（-1，n-5），
此時n-5=1+2-3=0，解得：n=5；
故M點的坐標(biāo)為（-1，0）；
若n＜2，則此時對應(yīng)的M點為（5，5-n），
此時5-n=25-10-3=0，解得：n=-7，
故M點的坐標(biāo)為（5，12），
綜上M點的坐標(biāo)為（-1，0）或（5，12）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．