Question

11．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（1）判斷f（x）在[1，+∞）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）求函數(shù)在$[{\frac{1}{2}，2}]$上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=2，可得a=1，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）可得f（x）在（0，1）遞減，求得最小值，比較端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得最大值．

解答 解：（1）∵由f（1）=2，得a=1，
∴$f（x）=x+\frac{1}{x}$，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
下用單調(diào)性的定義證明：設(shè)1≤x₁＜x₂，
由$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}$=${x_1}-{x_2}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
∴（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，得f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)． 
（2）同（1）可證，當(dāng)0＜x₁＜x₂≤1時(shí)，
有（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，得f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
∴f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上有$f{（x）_{max}}=f（{\frac{1}{2}}）=f（2）=\frac{5}{2}$，
f（x）_min=f（1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，以及運(yùn)用：求最值，考查定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于被揭穿他．