Question

2．冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（3，\root{3}{3}）$，則f（x）是（　�。�

• A． 偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)
• B． 偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)
• C． 奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)
• D． 非奇非偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)

Answer 1

分析 設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α（α是常數(shù)），把已知點(diǎn)代入求出α的值，由函數(shù)奇偶性的定義判斷出是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的單調(diào)性，判斷出在（0，+∞）上的單調(diào)性，即可得答案．

解答 解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α（α是常數(shù)），
∵冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（3，\root{3}{3}）$，
∴${3}^{α}=\root{3}{3}={3}^{\frac{1}{3}}$，則$α=\frac{1}{3}$，
即$f（x）={x}^{\frac{1}{3}}$，
∴函數(shù)的定義域是R，且$f（-x）=-{x}^{\frac{1}{3}}=-f（x）$，
∴$f（x）={x}^{\frac{1}{3}}$是奇函數(shù)，
∵$α=\frac{1}{3}＞0$，∴f（x）在（0，+∞）上遞增，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，以及冪函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．