Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長等于長軸長的一半，橢圓C上的點到右焦點F的最短距離為2-$\sqrt{3}$，直線l：y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若△AOB的面積為1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{2a×\frac{1}{2}=2b}\\{a-c=2-\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，b即可．
（Ⅱ）將直線l：y=x+m與橢圓C的方程x²+4y²-4=0聯(lián)立可得：5x²+8mx+4m²-4=0，再由根的判別式和韋達定理進行求解．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{2a×\frac{1}{2}=2b}\\{a-c=2-\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）將線l：y=x+m與橢圓C的方程x²+4y²-4=0聯(lián)立可得：5x²+8mx+4m²-4=0，
由△=64m²-4×5×（4m²-4）＞0，⇒m²＜5；
x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$．
|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m}^{2}}}{5}$，
原點O到直線l：y=x+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
△AOB的面積為s=$\frac{1}{2}$×d×|AB|=$\frac{4\sqrt{2}•\sqrt{5-{m}^{2}}}{5}×\frac{|d|}{5}$=1；
化簡得4m⁴-20m²+25=0，m²=$\frac{5}{2}$，
m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，直線l的方程為：y=x±$\frac{\sqrt{10}}{2}$

點評 考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和距離公式，屬于中檔題．