Question

14．若函數(shù)y=x³-ax²+4在（1，3）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f（x）的單調(diào)性求出f（x）的減區(qū)間，令（1，3）為減區(qū)間的子集即可得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0得x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
若$\frac{2a}{3}$≤0，即a≤0，則當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上為增函數(shù)，不符合題意；
若$\frac{2a}{3}$＞0，即a＞0，則當(dāng)1＜x＜$\frac{2a}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞$\frac{2a}{3}$時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，$\frac{2a}{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{2a}{3}$，+∞）上低調(diào)遞增，
∵f（x）在（1，3）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴3≤$\frac{2a}{3}$，解得a≥$\frac{9}{2}$．
故答案為：$[\frac{9}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．