Question

19．已知a＞0，a≠1，命題p：函數(shù)y=log_ax在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同兩點．
（Ⅰ）若命題p，q均是真命題，求a的取值范圍；
（Ⅱ）如果“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出命題的等價條件即可．
（Ⅱ）如果“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，則p，q有且只有一個為真命題，進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=log_ax在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴命題p為真時?0＜a＜1…（2分）
當(dāng)命題q為真時，二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程根的判別式滿足
△=（2a-3）²-4＞0⇒$0＜a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{5}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，知p，q有且只有一個為真命題．…（6分）
①當(dāng)p真q假$?\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$⇒$a∈[\frac{1}{2}，1）$…（9分）
②當(dāng)p假q真$?\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{0＜a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，⇒$a∈（\frac{5}{2}，+∞）$…（12分）
綜上所述，a取值范圍是$[\frac{1}{2}，1）∪（\frac{5}{2}，+∞）$…（14分）

點評 本題以函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)零點的問題為載體，考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．