Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，O是AE的中點(diǎn)，以AE為折痕向上折起，使D為D′，且D′B=D′C．

（Ⅰ）求證：平面D′AE⊥平面ABCE；
（Ⅱ）求CD′與平面ABD′所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC中點(diǎn)F，連結(jié)OF，D′O，D′F，則BC⊥平面D′OF，于是BC⊥OD′，又OD′⊥AE，于是OD′⊥平面ABCE，故而平面D′AE⊥平面ABCE；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出平面ABD′的法向量$\overrightarrow{n}$，則CD′與平面ABD′所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CD′}$＞|．

解答 解：（I取BC中點(diǎn)F，連結(jié)OF，D′O，D′F，則BC⊥OF，
∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F
又∵OF?平面D′OF，D′F?平面D′OF，OF∩D′F=F，
∴BC⊥平面D′OF，∵D′O?平面D′OF，
∴BC⊥D′O，
∵DA=DE，即D′A=D′E，
∴D′O⊥AE，又∵AE?平面ABCE，BC?平面ABCE，AE與BC相交，
∴D′O⊥平面ABCE，∵D′O?平面D′AE
∴平面D′AE⊥平面ABCE．
（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0）．D′（0，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{D′A}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{D′B}$=（1，3，-$\sqrt{2}$）.$\overrightarrow{CD'}$=（-1，3，-$\sqrt{2}$）．
設(shè)平面ABD′的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{D'A}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{D'B}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y-\sqrt{2}z=0}\\{x+3y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{2}$，得x=2，y=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{2}$）．|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CD′}$|=2$\sqrt{3}$.$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD′}$=-4．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CD′}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD′}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CD′}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴CD′與平面ABD′所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面角的求解方法，屬于中檔題．