Question

20．在一次文、理科學(xué)習(xí)傾向的調(diào)研中，對高一年段1000名學(xué)生進(jìn)行文綜、理綜各一次測試（滿分均為300分）．測試后，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生成績，記理綜成績X，文綜成績?yōu)閅，|X-Y|為Z，將Z值分組統(tǒng)計制成下表，并將其中女生的Z值分布情況制成頻率分布直方圖
值分布情況制成頻率分布直方圖（如圖所示）．

分組	[0，20）	[20，40）	[40，60}	[60，80）	[80，100）	[100，120）	[120，140）
頻數(shù)	4	18	42	66	48	20	2

（Ⅰ）若已知直方圖中[60，80）頻數(shù)為25，試分別估計全體學(xué)生中，Z∈[0，20）的男、女生人數(shù)；
（Ⅱ）記Z的平均數(shù)為$\overline{Z}$，如果$\overline{Z}$＞60稱為整體具有學(xué)科學(xué)習(xí)傾向，試估計高一年段女生的$\overline{Z}$值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表），并判斷高一年段女生是否整體具有顯著學(xué)科學(xué)習(xí)傾向．

Answer 1

分析 （Ⅰ）：根據(jù)頻率分布表和分布直方圖即可求出．
（Ⅱ）：根據(jù)組中值乘以頻率即可得到樣本的平均值，再根據(jù)樣本估計總體，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，女生Z∈[60，80）的頻率為$\frac{25}{1600}•20=\frac{5}{16}$．  …（1分）
所以樣本中女生總?cè)藬?shù)為$25÷\frac{5}{16}=80$．…（2分）
由頻率分布直方圖可知，女生Z∈[0，20）的頻率為$1-（\frac{1}{1600}+\frac{6}{1600}+\frac{10}{1600}+\frac{15}{1600}+\frac{20}{1600}+\frac{25}{1600}）×20=\frac{3}{80}$，…（4分）
所以女生Z∈[0，20）的頻數(shù)為$80•\frac{3}{80}=3$．
結(jié)合統(tǒng)計表可知，男生Z∈[0，20）的頻數(shù)為4-3=1．…（6分）
又因為樣本容量為200，故樣本中，男、女生Z∈[0，20）的頻率分別為$\frac{1}{200}$與$\frac{3}{200}$，…（7分）
據(jù)頻率估計概率、樣本估計總體的統(tǒng)計思想，可知年段1000名學(xué)生中，Z∈[0，20）的男生約有5名，女生約有15名．…（8分）
（Ⅱ）依題意，樣本中女生的$\overline Z$值約為$10×\frac{3}{80}+30×\frac{10}{80}+50×\frac{20}{200}$$+70×\frac{25}{80}+90×\frac{15}{80}+110×\frac{6}{80}+130×\frac{1}{80}$=65.25．（10分）
根據(jù)樣本估計總體的統(tǒng)計思想，全體女生$\overline Z≈65.25$．…（11分）
因為65.25＞60，所以年段女生整體具有顯著學(xué)科學(xué)習(xí)傾向．…（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖和平均數(shù)的問題和樣本估計總體，關(guān)鍵是識別圖形，屬于基礎(chǔ)題．