Question

4．如圖，某城市有一塊半徑為1（單位：百米）的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來(lái)有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門(mén)采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB．問(wèn)：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？

Answer 1

分析 分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy．設(shè)A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），求得直線AB的方程和圓的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，求得a，b的關(guān)系，再由兩點(diǎn)的距離公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此時(shí)A，B的位置．

解答 解：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy．
設(shè)A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），
則直線AB方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0．
因?yàn)锳B與圓C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，所以$\frac{|b+a-ab|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1，
化簡(jiǎn)得ab-2（a+b）+2=0，即ab=2（a+b）-2，
因此AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4（a+b）+4}$
=$\sqrt{（a+b-2）^{2}}$，
因?yàn)?＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，
于是AB=2-（a+b）．
又ab=2（a+b）-2≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
解得0＜a+b≤4-2$\sqrt{2}$，或a+b≥4+2$\sqrt{2}$，
因?yàn)?＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4-2$\sqrt{2}$，
所以AB=2-（a+b）≥2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2-$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
所以AB最小值為2$\sqrt{2}$-2，此時(shí)a=b=2-$\sqrt{2}$．
答：當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2-$\sqrt{2}$（百米）時(shí)，小道AB最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和圓相切的條件，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．