Question

18．若一條直線同時和兩個曲線相切我們稱此直線為兩曲線的公切線，已知f（x）=x²，g（x）=-x²+2x+a
（1）若f（x）與g（x）只有一條公切線，求實數(shù)a值；
（2）若f（x）與g（x）有兩條公切線，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求得f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)f（x）=x²上切點（x₀，x₀²），設(shè)g（x）=-x²+2x+a上切點（x₁，-x₁²+2x₁+a），分別求得切線的方程，由公切線的定義可得斜率相等且縱截距相等，化為關(guān)于x₀的方程，由二次函數(shù)的最值可得最大值，運用方程函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，即可得到（1）的a的值；（2）的a的范圍．

解答 解：f（x）=x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x，
g（x）=-x²+2x+a的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-2x+2，
設(shè)f（x）=x²上切點（x₀，x₀²），
可得切線方程為y=2x₀（x-x₀）+x₀²，即y=2x₀x-x₀²，
同理設(shè)g（x）=-x²+2x+a上切點（x₁，-x₁²+2x₁+a），
則切線方程為y=（-2x₁+2）（x-x₁）-x₁²+2x₁+a，
即y=（2-2x₁）x+a+x₁²，
兩函數(shù)有公切線，即令上述兩切線方程相同，
則有2x₀=2-2x₁，且-x₀²=a+x₁²，
消去x₁，化為a=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
令h（x₀）=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
可得x₀=$\frac{1}{2}$時，h（x₀）取得最大值-$\frac{1}{2}$，
（1）若f（x）與g（x）只有一條公切線，
即有關(guān)于x₀的方程有且只有兩個相等的實根，
可得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）若滿足存在兩條不同公切線，
只需關(guān)于x₀的方程a=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$有兩個不等的實根，
可得a＜-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及二次函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．