Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）如果方程f（x）=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）由題意可得a=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得g（x）的極小值，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，切點(diǎn)為（1，1），
可得切線的方程為y-1=3（x-1），即為y=3x-2；
（2）方程f（x）=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即為x²-alnx=0，即a=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，g′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$，
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1或1＜x$\sqrt{e}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得x=$\sqrt{e}$處g（x）取得極小值，且為2e，
即有a＞2e，則a的取值范圍是（2e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．