Question

18．求函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，x∈（1，2]的值域．

Answer 1

分析 通過分離常數(shù)可將原函數(shù)變成f（x）=$2-\frac{2}{x+1}$，而根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷出f（x）在區(qū)間（1，2]上單調(diào)遞增，從而其值域便可求得為（f（1），f（2）]=（1，$\frac{4}{3}$]．

解答 解：f（x）=$\frac{2（x+1）-2}{x+1}=2-\frac{2}{x+1}$；
x增大時(shí)，$\frac{2}{x+1}$減小，-$\frac{2}{x+1}$增大，所以f（x）增大；
∴函數(shù)f（x）在（1，2]上單調(diào)遞增；
∴$f（x）∈（f（1），f（2）]=（1，\frac{4}{3}]$；
∴函數(shù)f（x）在x∈（1，2]上的值域?yàn)椋?，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查通過分離常數(shù)化簡函數(shù)解析式的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其值域．