Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線C₁的極坐標(biāo)方程是ρsinθ+ρcosθ-1=0，圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）．
（1）求直線C₁和圓C₂的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）若直線l經(jīng)過直線C₁和圓C₂交點(diǎn)的中點(diǎn)，且垂直于直線C₁，求直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）直線C₁的極坐標(biāo)方程是ρsinθ+ρcosθ-1=0，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ可得直角坐標(biāo)方程．由圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用互化公式即可化為極坐標(biāo)．
（2）由（1）可得線段AB的中點(diǎn)為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，由直線l與直線x+y-1=0垂直，可得斜率k=1．可得點(diǎn)斜式，即可化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）直線C₁的極坐標(biāo)方程是ρsinθ+ρcosθ-1=0，可得直角坐標(biāo)方程：x+y-1=0．
由圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），
可得x²+y²=1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即直線與圓的交點(diǎn)分別為A（1，0），B（0，1），
化為極坐標(biāo)分別為：A（1，0），B（1，$\frac{π}{2}$）．
（2）由（1）可得線段AB的中點(diǎn)為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，由直線l與直線x+y-1=0垂直，可得斜率k=1．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{1}{2}$，即y=x，可得極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{4}$，（ρ∈R）．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．