Question

12．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合，且兩坐標(biāo)系有相同的長度單位，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosα\\ y=-1+2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，\frac{7}{4}π）$．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)Q且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，求當(dāng)弦MN的長度為最小時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圓C的方程為直角坐標(biāo)方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得；
（Ⅱ）可得點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（2，-2），當(dāng)直線l⊥CQ時(shí)，MN的長度最小，由斜率公式和垂直關(guān)系可得直線的斜率，可得方程．

解答 解：（Ⅰ）圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y+1）²=4，
化為一般式可得x²+y²-2x+2y-2=0，
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0；
（Ⅱ）∵點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為$（2\sqrt{2}，\frac{7}{4}π）$，∴點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（2，-2），
則點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，∴當(dāng)直線l⊥CQ時(shí)，MN的長度最小
又圓心C（1，-1），∴${k_{CQ}}=\frac{-2-（-1）}{2-1}=-1$，
直線l的斜率k=1，
∴直線l的方程為y+2=x-2，即x-y-4=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，涉及直線的斜率和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．