Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)a₁=-$\frac{2}{3}$，且滿足S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$（n≥2），則S₂₀₁₅等于（　　）

• A． $-\frac{2013}{2014}$
• B． $-\frac{2014}{2015}$
• C． $-\frac{2015}{2016}$
• D． $-\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 通過(guò)將a_n=S_n-S_n-1代入S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$（n≥2），整理即得S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，寫出n=1、2、3時(shí)對(duì)應(yīng)的值，猜測(cè)通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n-1+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=0，
∴S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，
∵S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，
∴S₂=-$\frac{1}{2+{S}_{1}}$=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
S₃=-$\frac{1}{2+{S}_{2}}$=-$\frac{1}{2-\frac{3}{4}}$=-$\frac{4}{5}$，
…
猜測(cè)：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k≥2時(shí)，有S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$，
∴S_k+1=-$\frac{1}{2+{S}_{k}}$=-$\frac{1}{2-\frac{k+1}{k+2}}$=-$\frac{1}{\frac{k+3}{k+2}}$=-$\frac{（k+1）+1}{（k+1）+2}$；
綜上所述：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
∴S₂₀₁₅=-$\frac{2015+1}{2015+2}$=-$\frac{2016}{2017}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．