Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x，x∈R，函數(shù)g（x）=x²-4x，（x∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的曲線所圍成封閉圖形的面積？

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，只要解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0即得f（x）的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；
（2）利用定積分是幾何意義，首先利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計(jì)算．

解答 解：∵f（x）=x³-2x²-4x，x∈R
∴f′（x）=3x²-4x-4…（1分）
令f′（x）=3x²-4x-4＞0，解得：$x＜-\frac{2}{3}，x＞2$
令f′（x）=3x²-4x-4＜0，解得：$-\frac{2}{3}＜x＜2$…（4分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（{-∞，-\frac{2}{3}}），（2，+∞）$，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{-\frac{2}{3}，2}]$…（6分）
（2）令x³-2x²-4x=x²-4x解得：x=0，x=3  …（7分）
由定積分的幾何意義，知：函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的曲線所圍成的面積為：$S=\int_0^3{[{（{x^2}-4x）-（{x^3}-2{x^2}-4x）}]}dx=\int_0^3{（3{x^2}-{x^3}）dx}$…（10分）
=${\left.{（{x^3}-\frac{1}{4}{x^4}）}\right|^3}_0=\frac{27}{4}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和利用定積分求封閉圖形的面積．