Question

2．已知函數(shù)f（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1（x∈R），設(shè)其最小值為g（a）（ x∈R）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）若g（a）=$\frac{1}{2}$，求a及此時(shí)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)解析式后，分三種情況：①-1$≤\frac{a}{2}≤1$時(shí)②$\frac{a}{2}＞1$時(shí)③$\frac{a}{2}＜-1$時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；
（2）把$\frac{1}{2}$代入到第一問的g（a）的第二和第三個(gè)解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．

解答 解：（1）f（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1
=-2+2cos²x-2acosx-2a+1
=2cos²x-2acosx-2a-1
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，
當(dāng)-1$≤\frac{a}{2}≤1$時(shí)，即-2≤a≤2，則當(dāng)cosx=$\frac{a}{2}$時(shí)，f（x）有最小值g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1；
當(dāng)$\frac{a}{2}＞1$時(shí)，即a＞2，則當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）有最小值g（a）=$2（1-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1$=-4a+1；
當(dāng)$\frac{a}{2}＜-1$時(shí)，即a＜-2，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）有最小值g（a）=$2（-1-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1$=1；
（2）若g（a）=$\frac{1}{2}$，由所求g（a）的解析式知只能是-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=$\frac{1}{2}$或1-4a=$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得：a=-1或a=-3（舍）．由$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{1-4a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得：a=$\frac{1}{8}$（舍）．
此時(shí)f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，得f（x）_max=5．
∴若g（a）=$\frac{1}{2}$，應(yīng)a=-1，此時(shí)f（x）的最大值是5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用二次函數(shù)的方法求三角函數(shù)的最值，要求學(xué)生掌握余弦函數(shù)圖象的單調(diào)性，屬于基本知識(shí)的考查．