Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過圓x²+y²=$\frac{12}{7}$上一點(diǎn)（$\frac{6}{7}$，$\frac{4\sqrt{3}}{7}$）作圓的切線，切線l恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，A為橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P（4，0），直線AP與橢圓的另一個交點(diǎn)為B，直線BF與橢圓的另一個交點(diǎn)為C，設(shè)直線AP的斜率為k₁，直線BF的斜率為k₂，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：求得切線方程，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，求得a和b的值，求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，B和C點(diǎn)坐標(biāo)，分別將直線AP和BF的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得x₁•x₂和x₂•x₃，求得x₂=x₃，y₂=-y₁，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$的取值范圍．

解答 解：（1）過點(diǎn)（$\frac{6}{7}$，$\frac{4\sqrt{3}}{7}$）的切線方程為$\frac{6}{7}x$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$y=$\frac{12}{7}$，即3x+2$\sqrt{3}$y=6，
右頂點(diǎn)（2，0），上頂點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$），
即a=2，b=$\sqrt{3}$，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由題意知：AP的方程為y=k₁（x-4），
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4${k}_{1}^{2}$+3）x²+32${k}_{1}^{2}$+64${k}_{1}^{2}$-12=0，
x₁•x₂=$\frac{64{k}_{1}^{2}-12}{4{k}_{1}^{2}+3}$=16-$\frac{60}{4{k}_{1}^{2}+3}$，
將k₁=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$，${y}_{2}^{2}$=3-$\frac{3}{4}{x}_{2}^{2}$，代入得：x₁•x₂=$\frac{8{x}_{2}-5{x}_{2}^{2}}{5-2{x}_{2}}$，
BF的方程，y=k₂（x-4），代入橢圓方程，
整理得：（4${k}_{2}^{2}$+3）x²-8${k}_{2}^{2}$x+4${k}_{2}^{2}$-12=0，
x₂•x₃=$\frac{4{k}_{2}^{2}-12}{4{k}_{2}^{2}+3}$=1-$\frac{15}{4{k}^{2}+3}$，
將k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，${y}_{2}^{2}$=3-$\frac{3}{4}$${x}_{2}^{2}$，代入得：x₂•x₃=$\frac{8{x}_{2}-5{x}_{2}^{2}}{5-2{x}_{2}}$，
∴x₂=x₃，
又AC不重合，
∴y₂=-y₁，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$=（x₁-4，y₁）•（x₁-1，-y₁），
=${x}_{1}^{2}$-5x₁+4-${y}_{1}^{2}$，
=$\frac{7}{4}$${x}_{1}^{2}$-5x₁+1，
=$\frac{7}{4}$（x₁-$\frac{10}{7}$）²-$\frac{18}{7}$，（-2＜x₁＜2），
∴-$\frac{18}{7}$≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{FC}$＜18．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓，圓與橢圓的位置關(guān)系，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．