Question

3．已知函數(shù)f（x）對-切實數(shù)x，y∈[-4，4]部有f（x+y）=f（x）+f（y）．且當x＞0時．f（x）＜0．又f（1）=-$\frac{2}{3}$．（1）試判定該函數(shù)的奇偶性； 
（2）證明該函數(shù)在[-4，4]上是減函數(shù)；
（3）若f（x）+f（x-3）≤-2．求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，即可判斷該函數(shù)的奇偶性；
（2）令-4＜x₁＜x₂＜4，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷符號即可判斷該函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用（2）中該函數(shù)的單調(diào)性與（1）中的奇偶性，可脫掉f（x）+f（x-3）≤-2中的“f”，得到關(guān)于x的不等式組，解之即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=0；
再令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），又y=f（x）的定義域為（-1，1），
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）令-4＜x₁＜x₂＜4，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0；
∴f（x₂-x₁）＜0
又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)在[-4，4]上單調(diào)遞減；
（3）∵f（1）=-$\frac{2}{3}$，
∴f（3）=-2，
∴f（x）+f（x-3）≤-2等價于f（2x-3）≤f（3），
∵函數(shù)在[-4，4]上是減函數(shù)，
∴3≤2x-3≤4，
∴3≤x≤3.5．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．