Question

18．已知函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在區(qū)間[1，2]內(nèi)有零點，求出方程x⁵+x-3=0在區(qū)間[1，2]的一個實數(shù)解，精度為0.1．

Answer 1

分析 先證明方程x⁵+x-3=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，可先函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在[1，2]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，再結合根的存在性定理即可．求解可用二分法．

解答 解：考查函數(shù)f（x）=x⁵+x-3，
∵f（1）=-1＜0，f（2）=31＞0，
∴函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在區(qū)間[1，2]有一個零點x．
∵函數(shù)f（x）=x⁵+x-3在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴方程x⁵+x-3=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一的實數(shù)解．
取區(qū)間[1，2]的 中點x₁=1.5，用計算器算得f（1.5）≈6.09＞0，∴x∈（1，1.5）．
同理，可得x∈（1，1.25），x∈（1.125，1.25），x∈（1.125，1.1875），x∈（1.125，1.156 25），x∈（1.125，1.1406 25）．
由于|1.1406 25-1.125|＜0.1，此時區(qū)間（1.125，1.1406 25）的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.1．

點評 函數(shù)零點存在定理，考查二分法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．