Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面α，AD、BD和平面α所成的角分別為30°和45°，CD=h，求D點(diǎn)到直線AB的距離．

Answer 1

分析 連AC，BC，過D作DE^AB，連CE，則DE為D到直線AB的距離．

解答 解：連AC，BC，過D作DE^AB，連CE，則DE為D到直線AB的距離．∵CD^α，∴AC，BC分別是AD，BD在α內(nèi)的射影．
∴? DAC，? DBC分別是AD和BD與平面α所成的角，
∴? DAC=30°，? DBC=45°，
在Rt△ACD中，∵CD=h，? DAC=30°，∴AC=$\sqrt{3}$h，
在Rt△BCD中，∵CD=h，? DBC=45°，∴BC=h，
∵CD^α，DE^AB，∴CE^AB，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2h，S=$\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AB•CE$，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}h•h}{2h}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
∴在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}h）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}h$，
∴點(diǎn)D到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{7}}{2}$h．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．