Question

7．已知雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，其右焦點(diǎn)為F．
（1）求以F為焦點(diǎn)，以雙曲線中心為頂點(diǎn)的拋物線方程；
（2）若直線y=2x+m，被拋物線所截的弦長(zhǎng)的|AB|=$\sqrt{85}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的方程，雙曲線的方程，結(jié)合它的幾何意義，求解拋物線的方程．
（2）聯(lián)立方程可得，4x²+4（m-1）x+m²=0，由△＞0有m＜$\frac{3}{2}$，直線y=2x+m，被拋物線所截的弦長(zhǎng)的|AB|=$\sqrt{85}$，可求m．

解答 解：（1）∵雙曲線為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴中心為（0，0），a²=4，b²=5
該雙曲線的右焦點(diǎn)為（3，0）
∴拋物線方程：y²=12x；
（2）直線y=2x+m，與拋物線y²=12x聯(lián)立，消去y，可得4x²+4（m-3）x+m²=0
由△＞0有16（m-3）²-16m²＞0，解得m＜$\frac{3}{2}$    
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3-m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∵直線y=2x+m，被拋物線所截的弦長(zhǎng)的|AB|=$\sqrt{85}$，
∴$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（3-m）^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{85}$，
解得m=-$\frac{4}{3}$，適合m＜$\frac{3}{2}$，
∴m=-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線，拋物線的幾何意義，考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用了韋達(dá)定理簡(jiǎn)化運(yùn)算，屬于中檔題．