Question

12．已知函數f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos2x+1．
（1）試將函數f（x）化為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，并求該函數的對稱中心；
（2）若銳角△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且f（A）=0，求$\frac{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據兩角和的余弦和正弦函數化簡函數的解析式將其寫成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式，正弦函數的對稱中心求解函數圖象的對稱中心；
（2）根據正弦定理，得到$\frac{c}$$\frac{\sqrt{3}}{2tanC}$+$\frac{1}{2}$，再構造函數，利用函數的單調性即可求出．

解答 解：（1）f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos2x+1=2cos2xcos$\frac{π}{3}$-2sin2xsin$\frac{π}{3}$-2co2x+1=-cos2x-sin2x+1=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
∴該函數的對稱中心（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，1），k∈Z，
（2）∵f（A）=0，
∴-2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=0，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{sin（\frac{2π}{3}-C）}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2tanC}$+$\frac{1}{2}$，

∵0＜C＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
令tanC=t，t＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2t}$+$\frac{1}{2}$，
∵y在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）為減函數，
∴$\frac{1}{2}$＜y＜2，
∴$\frac{c}$的范圍為（$\frac{1}{2}$，2）．

點評 本題考查三角函數的化簡，兩角和的正弦與余弦公式，正切函數的應用，正弦定理的應用，屬于中檔題．